Destaque

Sejam Bem-vindos !!!

Olá Terráqueos…

 

Sejam bem-vindos ao nosso blog.

Aqui iremos tratar sobre assuntos pertinentes a História da Matemática, nós somos alunos da Unimep – Universidade Metodista de Piracicaba, e somos em 13 alunos no total, e estamos desenvolvendo um projeto do nosso caro professor Elton, que resolveu criar esse projeto para inovar a didática das aulas de “Historia da Matemática”, ou seja, para sairmos da rotina dos livros e passarmos para vocês um pouco da história do nosso curso, e com isso incentivar vocês a conhecerem um pouco mais sobre essa matéria que os deixam de cabelos em pé rsrs !!!
Iremos falar sobre um pouco de tudo, para que com isso amplie o nosso conhecimento e nos ajude a ter/criar experiências com o público.

Esperamos que gostem dos resultados…

Até breve caros terráqueos (~u-u)~

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ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. 

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências – os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relacões entre variáveis. 

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto – esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o ” Problema da Tangente”.


Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. 

Estas ideias constituiram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. 

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar “a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como ” Cálculo Diferencial “. 

Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

Vertentes da Educação Matemática

O aluno vislumbrado pela Educação Matemática é um aluno que traz consigo uma bagagem cultural, um conhecimento de mundo. Esses conhecimentos devem ser aproveitados e entrelaçados aos conteúdos curriculares formais. Desta forma partiremos sempre de uma pesquisa, que visa descobrir a multiculturalidade do aluno e da comunidade onde ele está inserido, para assim dá vida ao que D’Ambrósio chamou de Etnomatemática.

Enquanto falava-se em tornar a matemática prática, pouco se fazia para efetivar essa pretensão. Mais uma vez, embutida no grande campo de estudo da Educação Matemática, surge uma metodologia de ensino que contemplaria diversas áreas do conhecimento humano as convertendo em modelos matemáticos. Esta metodologia, denominada de Modelagem Matemática, converte problemas das mais diferentes ciências ou atividades humanas a modelos matemáticos, com vista à visualização das grandezas, ao levantamento e estruturamento de dados estatísticos, a avaliação desses dados e, logo em seguida, uma solução matemática que melhor se aplique àquela situação. Assim, a matemática tornou-se visivelmente prática.

pesquisa em matemática nunca foi tão valorizada, principalmente voltada ao seu ensino. O professor pesquisador, motivado pela constante reflexão de suas práticas de ensino, busca o melhoramento do ensino através da pesquisa bibliográfica ou de campo, mas, principalmente, através da formação continuada em cursos que contemplem a dida e as metodologias do ensino da matemática. Podemos então definir um novo paradigma de professor pela tríade intelectual-reflexivo-pesquisador.

Em meio a tantas vertentes englobadas pela Educação Matemática, a principal ferramenta de redirecionamento da prática docente não poderia ficar de fora: a avaliação. Enquanto antes se pensava como ideal uma avaliação que mais punia do que fazia progredir o ensino e a aprendizagem, hoje se pensa uma avaliação que contemple todos os momentos da atividade discente, as múltiplas culturas, os vários credos, o meio, as condições físicas e organizacionais da escola, a afetividade, o raciocínio, a habilidade, a visão de mundo, de sociedade, de educação e de escola e, claro, os conhecimentos formais sobre a matemática e suas áreas de interdisciplinaridade. A essa avaliação, dá-se o nome de avaliação formativa.

Educação matemática

Muito se tem pesquisado no campo da matemática. Pesquisas que passam pela matemática pura, computacional, escolar, entre outras. No caso da matemática escolar, tem-se, especialmente, evoluído bastante. Se antes os conteúdos eram secos, sem qualquer relação interdisciplinar, hoje essa realidade toma nova forma, vista a grande evolução do que se entende por ensino e aprendizagem matemática.

Podemos dizer que não se aceita mais uma matemática desvinculada da vida prática e da relação com as diversas áreas do conhecimento humano. Ela tem que estar revestida de aplicabilidades, de conceitos históricos, de localizações geográficas, de arte, de compreensão textual, da boa escrita, das diversas ciências, sejam elas físicas, biológicas ou humanas. Essa matemática vai além dos padrões interdisciplinares atingindo a excelência de seu ensino, isto é, a transdisciplinaridade.

Foi fácil perceber a necessidade de se quebrar o paradigma vigente da matemática, onde se esbanjava rigorosidade, foco exclusivo em memorização de fórmulas, cálculos descontextualizados e punição para os discentes nas avaliações. Assim, nesse cenário de carência de reforma do ensino da matemática e do melhoramento da aprendizagem discente, surgiu a Educação Matemática.

A Educação Matemática, que tem como patrono o Pesquisador e Educador Matemático Ubiratan D’Ambrósio, nasceu para corrigir as mazelas matemáticas advindas de métodos de ensino ultrapassados, mais conhecidos como tradicionalistas. A ótica dessa metodologia, que aos pouco foi ganhando o título de ciência, é voltada para um ensino robusto da matemática, embasado em práticas que fortalecem e efetivam o aprendizado do discente, alicerçadas nas teorias da aprendizagem, no conhecimento multicultural, na inter e na transdisciplinaridade.

No modelo tradicionalista de educação escolar, o aluno era ator passivo dos processos de ensino e apenas receptivo do que se entendia por aprendizagem. Desta forma, a matemática era centrada no professor, sujeito que detinha todo o conhecimento, livre de falhas e inquestionável. O aluno era uma caixa vazia, na qual o professor depositava conhecimentos prontos. A avaliação era – ou ainda é? – baseada em mentalizações de fórmulas e resolução de exercícios meramente mecânicos, sendo pregado um caminho único que levaria a solução das questões.

Com o nascimento da Educação Matemática, esses modelos foram modificados e adaptados às necessidades do aluno moderno. O aluno passa a ser ativo, sujeito que participa integralmente da construção da aprendizagem, protagonista, reflexivo, crítico. O professor, apesar de não mais ser exclusivo sabedor de todas as coisas, é sujeito importante na organização e direcionamento da aprendizagem. Este teve que se adaptar a esse novo cenário educacional, revendo práxis de ensino, reavaliando a sua condição docente, dando continuidade a sua formação e seguindo uma nova linha teórica sobre o processo ensino-aprendizagem.

Demonstrações

Na matemática, uma demonstração é  UMA PROVA ,uma sucessão finita de argumentos restritos às regras da lógica mostrando que determinada afirmação é necessariamente verdadeira quando se assumem certos axiomas.

As provas empregam lógica proposicional, tendo dentre seus elementos uma cadeia de afirmações (proposições) ligadas por implicações.

Além da lógica, as provas usualmente incluem alguma quantidade de linguagem natural, o que pode levar a ambiguidade ou dificuldade de entendimento, tendo em vista o caráter deste tipo de linguagem ser mais dependente da interpretação humana. Assim, a forma como a grande maioria das provas na matemática é ensinada pode ser considerada como aplicações da lógica informal, mas uma afirmação só deixa de ser considerada uma conjectura após ter uma demonstração escrita usando lógica formal nos trechos onde pode haver ambiguidades.

No contexto da teoria da prova, em que as provas puramente formais são consideradas, as demonstrações não inteiramente formais são frequentemente chamadas de “provas sociais”. A distinção levou à análise da prática matemática atual e histórica, do quasi-empiricismo em matemática e da então chamada matemática popular (em ambos os sentidos deste termo).

filosofia da matemática, por sua vez, preocupa-se com o papel da linguagem e da lógica em provas, e da matemática como linguagem

Independentemente da atitude que se tenha em relação ao formalismo, o resultado provado é um teorema em uma prova completamente formal isto seria o ponto final, e a prova completa mostra como o resultado segue apenas dos axiomas. Uma vez o teorema provado, ele pode ser usado como base para provar outros enunciados. As chamadas fundações da matemática são aqueles enunciados que não se pode, ou não é necessário, provar. Estes foram uma vez o estudo primário dos filósofos da matemática. Hoje o foco é mais na prática matemática, isto é, técnicas aceitáveis.

Geometria

A Geometria é uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra. A palavra “geometria” tem origem grega e sua tradução literal é: “medir a terra”. Essa informação nos dá pistas de como nasceu e o motivo pelo qual ela se desenvolveu durante os séculos.

A Geometria é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza, das posições ocupadas por esses objetos, das relações e das propriedades relativas a essas formas.

Como a geometria é construída?

A geometria é construída sobre objetos primitivos: ponto, reta, plano, espaço, entre outros. Esses objetos não possuem definição, mas possuem características que possibilitam sua identificação.

Fazendo uso desses objetos primitivos é que são definidas as primeiras formas geométricas do plano: segmentos de reta, polígonos e ângulos. A partir delas, é feita a definição de distância entre dois pontos, da qual depende a definição de círculo. Tudo isso serve como base para a construção da geometria espacial.

A geometria também é responsável por propriedades das figuras geométricas. Essas propriedades nada mais são do que resultados de relações analisadas nos objetos e figuras geométricas. Uma propriedade das circunferências, por exemplo, é a seguinte: o resultado da divisão entre o perímetro de um círculo e seu diâmetro sempre será igual a π (aproximadamente 3,14).

Desse modo, a geometria é construída relacionando objetos básicos a fim de obter objetos mais elaborados. Estes são relacionados entre si para chegar a objetos ainda mais elaborados e assim sucessivamente.

Divisões da geometria

Atualmente a geometria é dividida em dois conjuntos: Geometria Euclidiana e Geometrias não Euclidianas.

Geometrias não Euclidianas

Euclides, grande matemático e escritor, viveu provavelmente no século III a.C. e é chamado de pai da geometria. Ele foi o primeiro a reunir toda a geometria em uma única obra, chamada “Os Elementos”. Esse matemático baseou a geometria plana em cinco postulados.

O quinto desses postulados é muito mais sofisticado que os outros quatro. Isso levantou dúvidas entre os matemáticos, desde sua época até meados do século XIX, quando Lobachevsky, um matemático russo, resolveu reconstruir a geometria, mas utilizando a negação do quinto postulado de Euclides.

Esse postulado afirmava: Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada. Lobachevsky considerou o contrário: Por um ponto fora de uma reta passa mais de uma reta paralela à reta dada.

Os objetos e figuras geométricas são definidos da mesma forma que na geometria plana, a única diferença é realmente o quinto postulado.

Os resultados obtidos por Lobachevsky são divididos da seguinte forma: aqueles que não dependem do quinto axioma de Euclides são idênticos à geometria tradicional. Já os que dependem são diferentes. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo, nas geometrias construídas a partir de Lobachevsky, não é igual a 180°.

Os estudos de Lobachevsky deram origem à geometria Rhiemanniana e abriram uma porta para a construção de outras geometrias completamente distintas da geometria plana e espacial que conhecemos. O fato mais interessante é que os seus resultados possuem muitas aplicações no dia a dia.

Geometria Euclidiana

É a geometria discutida nos ensinos fundamental e médio e a única geometria conhecida pelo homem até meados do século XIX. A geometria Euclidiana é dividida nas seguintes subáreas:

Geometria Plana: Todas as figuras, formas e definições são feitas para objetos pertencentes ao plano, isto é, que possuem apenas largura e comprimento, mas não possuem profundidade.

Os conceitos discutidos pela geometria plana são de ponto, reta, plano, posições relativas, distância entre dois pontos, ângulos, polígonos, áreas e trigonometria, entre outros.

Geometria Espacial: Os objetos pertencem ao espaço tridimensional, ou seja, agora existe a possibilidade de considerar a sua profundidade.

Os conceitos discutidos na geometria espacial são: todos os da geometria plana, além de planos, poliedros e corpos redondos.

Geometria Analítica: Subárea que relaciona a geometria com a álgebra e utiliza uma para resolver problemas provenientes da outra.

Os conceitos discutidos na geometria analítica são: todos os conceitos e definições da geometria plana e espacial do ponto de vista algébrico, coordenadas, vetores, matrizes, quádricas e sólidos de revolução, entre outros.

 

Álgebra- parte 2

  • Expressões algébricas

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão numérica. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica. Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio. Qualquer expressão algébricaque seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio.

Expressões algébricas, monômios e polinômios são exemplos de elementos pertencentes à álgebra, pois são constituídos a partir de operações realizadas com números desconhecidos. Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.

  • Equações

Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.

Exemplos

1) 2x + 4 = 0

2) 4x – 4 = 19 – 8x

3) 2x2 + 8x – 9 = 0

  • Funções

A definição formal de função é a seguinte: função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de um segundo conjunto.

Essa regra é matematicamente representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a incógnita. Esta é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo; na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Por esse motivo, dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam.

Como envolve expressões algébricas, função é também um conteúdo pertencente à Álgebra, uma vez que as letras representam qualquer número pertencente a um conjunto de números qualquer.

Exemplos:

1) Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real.

Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais. O único detalhe a respeito disso é que y não pode representar um número real negativo nessa função, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá resultado positivo.

2) Considere a função y = 2x, em que x é um número natural.

Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números naturais. Esses números são os inteiros positivos, portanto, os valores que y pode assumir são os números naturais múltiplos de 2. Dessa maneira, y é um representante do conjunto dos números pares.

  • Da álgebra clássica à álgebra abstrata

Os conceitos relacionados até aqui compõem a álgebra clássica. Essa parte da álgebra está mais ligada aos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos e é estudada tanto no ensino fundamental quanto no ensino superior. A outra parcela da álgebra, conhecida como abstrata, estuda essas mesmas estruturas, mas para conjuntos quaisquer.

Dessa forma, dado um conjunto qualquer, com elementos quaisquer (números ou não), é possível definir uma operação “adição”, uma operação “multiplicação” e verificar a existência ou não das propriedades dessas operações, bem como a validade de “equações”, “funções”, “polinômios” etc.

Álgebra – Parte 1

Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

A operação “adição”, por exemplo, realmente funciona em todos os números pertencentes ao conjunto dos números naturais? Ou existe algum número natural muito grande, próximo ao infinito, que se comporta de maneira diferente dos demais ao ser somado? A resposta para essa pergunta é dada pela álgebra: Primeiramente, é definido o conjunto dos números naturais e a operação soma; depois, é comprovado que a operação soma funciona para qualquer número natural.

Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,…. Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.

  • Propriedades das operações matemáticas

Sabendo que um número qualquer pertencente a um conjunto pode ser representado por uma letra, considere os números x, y e z como pertencentes ao conjunto dos números reais e as operações adição e multiplicação representadas por “+” e “·”, respectivamente. Então, as seguintes propriedades são válidas para x, y e z:

1 – Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

2 – Comutatividade

x + y = y + x

x·y = y·x

3 – Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x·1 = x

4 – Existência de elemento inverso

x + (– x) = 0

 1 = 1
x

5 – Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)

x·(y + z) = x·y + x·z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.